Сравнение двух математических ожиданий

Новосибирский государственный технический университет. Проведено сравнение мощности критериев. В различных приложениях часто возникает необходимость в проверке гипотез о равенстве математических ожиданий, соответствующих выборкам, извлеченным из двух или более генеральных совокупностей проверка гипотез об однородности математических ожиданий.

Сюда относятся параметрические критерии, распределения статистик которых получены в предположении о принадлежности наблюдений нормальному закону: Относительно критериев однородности математических ожиданий исследователей волнует три группы вопросов. Во-вторых, что происходит с распределениями статистик параметрических критериев при нарушении предположений о нормальности наблюдаемых величин?

В-третьих, какова мощность критериев по отношению к конкретным альтернативам, и какие критерии в этом смысле наиболее предпочтительны? Методы и результаты исследований. Были исследованы распределения статистик всех упомянутых выше критериев. В качестве примера рассмотрим поведение статистики критерия сравнения двух выборочных средних при неизвестных, но равных дисперсиях критерий Стьюдента в случае нарушения предположения о принадлежности наблюдаемых величин нормальному закону.

Статистика критерия имеет вид. Исследования показали, что в случае выполнения предположения о нормальности уже при малых объемах выборок ; эмпирическая функция распределения статистки достаточно хорошо согласуется с теоретической.

Этот вывод касается всех рассмотренных параметрических критериев. Распределения статистик перечисленных выше параметрических критериев были исследованы при различных законах распределения наблюдаемых случайных величин, в частности, в случае принадлежности семейству симметричных законов с плотностью. Картина, представленная на рис.

Главный вывод из исследования распределений статистик непараметрических критериев проверки однородности средних заключается в следующем: В частности, для статистики 1 использование в качестве распределения статистики соответствующего распределения Стьюдента не приведет к значительным ошибкам в определении достигнутого уровня значимости, если наблюдаемый закон меняется от распределения Лапласа до почти равномерного.

Не очень заметно сказывается асимметричность законов. Статистика критерия имеет вид:. Было показано, что сходимость распределения статистики критерия к предельному закону при верной проверяемой гипотезе не зависит от разницы между дисперсиями в выборках. Статистика S двухвыборочного критерия Вилкоксона определяется следующим образом.

Распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона. Были найдены минимальные объёмы обоих выборок, при которых достигается достаточно хорошее согласие дискретного распределения статистики 3 с предельным законом распределения. В общем случае сумма объёмов двух выборок, по которым проверяется гипотеза, должна быть больше, либо равна 50, причем объём каждой выборки не должен быть меньше 5: Естественно, что на распределения статистик непараметрических критериев проверки однородности средних не влияет закон распределения наблюдаемых величин.

В работе было исследовано влияние на распределение статистики 3 неравенства дисперсий, соответствующих анализируемым выборкам. В таблице 2 представлены усреднённые по 50 экспериментам достигаемые уровни значимости при проверке согласия эмпирического и предельного распределения в случае неравенства дисперсий в выборках. Распределения статистик непараметрических критериев проверки однородности средних Стьюдента, Крамера-Уэлча , F -критерия и др.

Это позволяет в случае применения данных критериев менее строго относиться к обязательности выполнения предположений о нормальности наблюдаемых величин. Исследования мощности параметрических и непараметрических критериев на ряде альтернатив показали некоторые преимущества непараметрических критериев. Постановка задачи В различных приложениях часто возникает необходимость в проверке гипотез о равенстве математических ожиданий, соответствующих выборкам, извлеченным из двух или более генеральных совокупностей проверка гипотез об однородности математических ожиданий.

Распределения статистик перечисленных выше параметрических критериев были исследованы при различных законах распределения наблюдаемых случайных величин, в частности, в случае принадлежности семейству симметричных законов с плотностью при различных значениях параметра формы. Статистика критерия имеет вид: Разница между дисперсиями Достигнутый уровень значимости 0.